纠缠数据在量子机器学习中的相变行为

背景与动机

量子纠缠是实现量子计算优势的关键资源。目前，研究人员广泛关注如何将量子纠缠整合到量子机器学习模型的各个环节（如纠缠测量和量子演化算子），以期超越传统机器学习模型的性能。相较于同等规模的经典数据，量子纠缠数据因其能够编码更多的信息而备受关注，被认为是实现量子优势的一条有效途径。尽管如此，量子数据的纠缠程度如何具体影响模型性能，仍然是一个尚未解决且颇具挑战性的研究课题。没有免费的午餐定理是人工智能中的一项基本法则，其传递的一个关键观点是：无论采用何种优化策略，模型的最终性能取决于训练数据的大小和类型。因此，建立量子没有免费午餐（NFL）定理有望严格地描述构建量子数据所需要的资源（包括纠缠程度，测量次数，数据大小）对量子机器学习模型的影响。

论文链接：https://www.nature.com/articles/s41467-024-47983-1

方法

一、量子动力学学习

图1 量子动力学学习示意图

本研究主要考虑使用纠缠数据学习量子动力学演化，其最简单的形式可由酉矩阵表示，即目标学习函数为，其中为已知测量算子，为目标学习酉矩阵，为输入量子态。图1展示了基于该任务的量子NFL定理。

(a) 将存在于Hilbert空间（表示辅助量子系统）中的二分量子态作为输入，称为纠缠数据，其纠缠程度通过Schmidt秩度量。

(b) 量子学习器进行非相干学习，纠缠数据分别输入到不可知的目标酉矩阵以及从同一假设集中提取的候选假设。

(d) 经典计算机根据测量结果推断出能估计最优的酉矩阵。例如，在变分量子算法的情况下，经典计算机充当优化器来更新假设的可调参数。

(e) 利用学习到的酉矩阵来预测在目标酉矩阵和测量算子的演化下希尔伯特空间中任意量子态的输出。较大的Schmidt秩在与大量测量结合时可以减小预测误差，但当较小时可能会导致误差增加。其中预测误差由风险函数表示。

二、Fano’s方法

本研究的结果主要基于建立风险函数的下界。我们利用了统计学习理论中的Fano’s方法来推导其下界。

图2 Fano’s方法示意图

(1) 函数空间离散化: 将目标西矩阵空间离散化为一个 packing 集合使得中的酉矩阵在关于目标函数的距离度量下是可区分的。

(2) 将学习问题简化为一个关于的假设检验问题: 这种假设检验问题相当于双方(即 Alice 和 Bob)之间的通信协议。具体而言, Alice 从中随机均匀选择一个元素 , 并使用相应的西矩阵构造训练数据 , 其中为随机采样的纠缠量子态, 为对演化量子态在投影测量下的测量结果。Bob 的目标是根据从离散集中推断 Alice 选择的索引的信息。Bob推断的索引用表示。这个过程对应原假设为的假设检验问题。

(3) 利用 Fano's 不等式推出假设检验问题错误概率的下界, 即 , 其中表示目标索引和估计索引之间的互信息。因此我们最后可以将问题简化为求的上界, 其由两方面因素决定。一方面, 增加测量次数能够增加互信息, 即。另一方面, 互信息的最大值由数据的纠缠程度决定, 即。最终我们有。因此, 我们可知数据的纠缠程度对互信息的大小, 进而对学习问题的预测误差有双重影响。

评价与结果

本文对纠缠数据在量子机器学习中的作用进行了理论以及实验研究。通过建立量子没有免费的午餐定理定量地刻画了数据的纠缠程度，测量次数，以及数据大小对模型性能的影响，得到以下发现：（1）与之前的发现相反，我们证明纠缠数据对预测误差的影响表现出双重影响，这取决于允许的测量次数。在足够数量的测量的情况下，增加训练数据的纠缠一致地减少预测误差或减少训练数据的所需大小以实现相同的预测误差。相反，当允许很少的测量时，使用高度纠缠的数据可能会导致预测误差增加。（2）增加测量次数的大小能够提升模型性能，但不能够对模型性能起决定性作用（3）增加数据大小总能够提升模型性能。该研究为设计先进的量子机器学习协议提供了重要指导，特别是对于当前量子计算资源有限的量子计算机而定制的协议。

技术贡献

该研究使用了统计学习理论中的Fano’s方法和信息论中的f-散度等相关工具对量子纠缠数据对量子机器学习模型性能的影响进行了精细化的理论分析，并建立了一种对于量子机器学习模型误差下界的分析范式，为研究其他量子计算问题（如量子过程层析、量子误差缓解等）提供一种新的分析方法。

详细内容参见

Xinbiao Wang, Yuxuan Du, Zhuozhuo Tu, Yong Luo, Xiao Yuan, and Dacheng Tao. 2024. Transition Role of Entangled Data in Quantum Machine Learning. Nature Communications 15.1 (May 2024): 3716. https://doi.org/10.1038/s41467-024-47983-1

作者介绍

王新彪，武汉大学计算机学院2021级博士，主要研究方向为量子机器学习算法及理论、量子信息论。相关研究成果已发表在物理以及计算机领域的国际著名期刊和会议，包括Nature Communications、Quantum、IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems（T-NNLS）、International Conference on Learning Representations（ICLR）等。

罗勇，国家海外高层次人才青年项目获得者，武汉大学计算机学院人工智能系教授、博士生导师，湖北珞珈实验室成员，中国研究生人工智能创新大赛优秀指导教师。长期从事人工智能、机器学习与模式识别等方向的研究，发表80余篇高水平论文。获中国计算机学会（CCF）优秀博士学位论文奖，2017年人工智能会议IJCAI杰出论文提名（2540选3）和IEEE GlobeCom 2016最佳论文奖。指导学生获IEEE MMSP 2022最佳学生论文奖，并与他的合作者获IEEE TMM 2023、IEEE ICME 2019和IEEE VCIP 2019最佳论文奖。主持国家自然科学基金区域联合基金（重点）项目1项，面上项目1项，作为核心成员参与国家重点研发计划项目。担任多媒体汇刊IEEE TMM编委，CCF A类会议ACM MM领域主席，和CCF A类会议AAAI和IJCAI的高级程序委员会委员。